Monografia zawiera najważniejsze elementy aksjomatycznej teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru: aksjomatykę, definicje podstawowych pojęć, teorie relacji binarnych, częściowo porządkujących, równoważnościowych, funkcji, liczb porządkowych oraz liczb kardynalnych. Powstała na podstawie wieloletnich wykładów prowadzonych przez autora dla studentów filozofii Uniwersytetu Łódzkiego. Nie wymaga więc gruntownego przygotowania matematycznego, wystarcza pewne „wyrobienie” logiczne w zakresie umiejętności dowodzenia twierdzeń, a właściwie znajomość takich stałych logicznych, jak spójniki boolowskie i kwantyfikatory. Może służyć nie tylko matematykom i studentom matematyki, lecz także humanistom chcącym ugruntować swoją wiedzę o zbiorach, wykorzystywaną często w różnych zabiegach formalizacyjnych. Tym bardziej, że pewne wątki mają charakter filozoficzny, m.in. dyskusje na temat aksjomatu regularności i pojęcia ufundowania zbioru, relacji równoważnościowej, liczby porządkowej czy aksjomatu wyboru.

 

Osoby które kupowały "Elementy teorii mnogości", wybierały także:

• Ryszard Kilvington. Nieskończoność i geometria 19,52 zł, (8,98 zł -54%)
• Matematyka w deep learningu. Co musisz wiedzie 89,00 zł, (44,50 zł -50%)
• Matematyka w programowaniu gier i grafice komputerowej. Tworzenie i renderowanie wirtualnych 89,00 zł, (44,50 zł -50%)
• Podstawy matematyki w data science. Algebra liniowa, rachunek prawdopodobie 69,00 zł, (34,50 zł -50%)
• Domowe lekcje matematyki. Klasy 4-6 39,90 zł, (19,95 zł -50%)

• 
• 
• 
• 
• 

Spis treści

Elementy teorii mnogości eBook -- spis treści

Wstęp    7

§1. Wprowadzenie do zagadnień teorii mnogości       7

 

Rozdział 1. Aksjomatyka ZFC i podstawowe pojęcia teoriomnogościowe             11

§1. Aksjomaty teorii mnogości         11

§2. Inkluzja zbiorów            15

§3. Zbiór pusty     17

§4. Zbiór potęgowy danego zbioru 18

§5. Suma zbioru   20

§6. Para zbiorów, zbiór jednoelementowy    21

§7. Suma dwóch zbiorów  22

§8. Zbiór n-elementowy    23

§9. Iloczyn dwóch zbiorów               23

§10. Różnica zbiorów, dopełnienie zbioru    24

§11. Przekrój zbioru niepustego     26

§12. Ciało zbiorów              27

§13. Algebra Boole’a          31

 

Rozdział 2. Zbiory nieufundowane. Aksjomat regularności      33

§1. Zbiory niemające elementu minimalnego              33

§2. Zbiory nieufundowane i ufundowane     36

§3. Dwie istotne własności zbiorów ufundowanych    41

§4. Aksjomat regularności i jego konsekwencje          42

 

Rozdział 3. Relacje binarne               45

§1. Para uporządkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów               45

§2. Pojęcie relacji binarnej               47

§3. Operacje na relacjach binarnych             48

§4. Relacje porządkujące  51

§5. Tranzytywne domknięcie relacji binarnej               53

 

Rozdział 4. Funkcje             57

§1. Funkcja jako relacja binarna. Złożenie funkcji        57

§2. Bijekcja, funkcja odwrotna         58

§3. Obraz i przeciwobraz zbioru      61

§4. Rodziny indeksowane  63

 

Rozdział 5. Zbiory częściowo uporządkowane              65

§1. Pojęcie zbioru częściowo uporządkowanego, elementy największy i najmniejszy oraz maksymalny i minimalny   65

§2. Zbiór liniowo uporządkowany, lemat Kuratowskiego-Zorna               68

§3. Pojęcie kraty 70

§4. Izomorfizm zbiorów częściowo uporządkowanych               74

 

Rozdział 6. Relacje równoważnościowe         79

§1. Krata relacji równoważności      79

§2. Klasa abstrakcji, zbiór ilorazowy, podział zbioru    82

§3. Relacje równoważności a podziały           85

§4. Relacje równoważności a funkcje             88

 

Rozdział 7. Liczby naturalne             91

§1. Arytmetyka elementarna           91

§2. Arytmetyka liczb naturalnych z dodawaniem i mnożeniem                93

§3. Pewne metalogiczne własności arytmetyk liczb naturalnych             96

§4. Operacja następnika w teorii ZFC             99

§5. Interpretacji arytmetyki elementarnej w teorii ZFC             102

 

Rozdział 8. Pojęcie liczby porządkowej          107

§1. Liczby naturalne a liczby porządkowe     107

§2. Zbiory tranzytywne      110

§3. Liczba naturalna jako liczba porządkowa 112

§4. Warianty definicyjne dla pojęcia liczby porządkowej          113

§5. Twierdzenie o indukcji pozaskończonej  118

§6. Spójność relacji Î oraz relacja inkluzji dla liczb porządkowych         119

§7. Najmniejsza liczba porządkowa x taka, że φ(x)       122

 

Rozdział 9. Zbiory liczb porządkowych. Liczby porządkowe izolowane i graniczne              125

§1. Kresy względem Í dowolnego zbioru liczb porządkowych                125

§2. Kresy względem Î dowolnego zbioru liczb porządkowych                127

§3. Suma następnika i następnik sumy dowolnego zbioru liczb porządkowych 130

§4. Liczby porządkowe izolowane i graniczne              132

§5. Niepuste liczby porządkowe graniczne   140

 

Rozdział 10. Ciągi pozaskończone. Aksjomat wyboru 143

§1. Ciąg pozaskończony     143

§2. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną           144

§3. Aksjomat wyboru, funkcja wyboru           151

§4. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru dla dowolnego zbioru    156

§5. Funkcja definiowana przez indukcję pozaskończoną wyznaczona przez funkcję wyboru zbioru liczb porządkowych           161

 

Rozdział 11. Liczby kardynalne         163

§1. Równoliczność zbiorów              163

§2. Liczba kardynalna zbioru            164

§3. Liczby kardynalne liczb porządkowych    172

§4. Liczby kardynalne większe od ω               176

 

Bibliografia           179